Question

已知ABC-A₁B₁C₁是底面邊長為2的正三棱柱，O為BC的中點．
（Ⅰ）設A₁O與底面A₁B₁C₁所成的角的大小為α，二面角B-AO-B₁的大小為β，
求證：tanβ=

3

tanα；　　　　　
（Ⅱ）若點C到平面AB₁C₁的距離為

3

2

，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：計算題,空間角

分析：（Ⅰ）利用空間線面位置關系作出設A₁O與底面A₁B₁C₁所成的角的大小為α與二面角B-AO-B₁的大小為β；
（Ⅱ）向量法解決

解答： 解：（Ⅰ）設正三棱柱的高為h，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，∴A₁O與底面A₁B₁C₁所成的角大小等于A₁O與底面ABC所成的角大小，即∠AOA₁=α，則tanα=

AA1

AO

=

h

3

，…（2分）
∵AB=AC，O為BC的中點，∴AO⊥BC，
又∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，交線是BC，AO?平面ABC，∴AO⊥BB₁C₁C，
∴∠BOB₁是二面角B-AO-B₁的平面角，即∠BOB₁=β，則 tanβ=

BB1

BO

=h，…（5分）
∴tanβ=

3

tanα…（6分）
（Ⅱ） 設O為BC的中點，如圖建系，則

AB1

=(-

3

，1，h)，

C1B1

=(0，2，0)，

CA

=(1，

3

，0)，…（8分）
設平面AB₁C₁的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AB1 =0 n • C1B1 =0

…（9分）
即

- 3 x+y+hz=0 y=0

，取

n

=(h，0，

3

)…（10分）
∴點C到平面AB₁C₁的距離為d=|

CA • n

| n |

|=

h

2 h2+3

=

3

2

，…（11分）
解得h=1…（12分）

點評：本題主要考查了正三棱柱中的線面角、二面角的平面角的計算，以及向量法求距離，考查推理論證的能力和表達能力，注意證明過程的嚴密性．