Question

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E為PD的中點．
（I）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求異面直線BD和CE所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，由已知條件推導出OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BD和CE所成角的余弦值．

解答： （1）證明：連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵四邊形ABCD正方形，∴O是AC中點，
又E是PD中點，∴OE∥PB，
∵PB不包含平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
（2）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵四邊形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD，
PA=AB=2，E為PD的中點，
∴B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，1，1），
∴

BD

=（-2，2，0），

CE

=（-2，-1，1），
∴cos＜

BD

，

CE

＞=

4-2+0

4+4 • 4+1+1

=

3

6

．
∴異面直線BD和CE所成角的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．