Question

已知實數p＞0，直線3x-4y+2p=0與拋物線x²=2py和圓x²+（y-

p

2

）²=

p2

4

從左到右的交點依次為A、B、C、D，則

AB

CD

的值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），拋物線的焦點為F，由題得|BF|=|CF|=

p

2

．由拋物線的定義得：|AB|=|AF|-|BF|=y₁，同理|CD|=y₂，所以

AB

CD

=

y1

y2

，聯立直線3x-4y+2p=0與拋物線x²=2py的方程且消去x解出y₁=

p

8

，y₂=2p，即可得出結論．

解答： 解：設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），拋物線的焦點為F，
由題意得|BF|=|CF|=

p

2

由拋物線的定義得：|AB|=|AF|-|BF|=

p

2

+y₁-

p

2

=y₁，同理得|CD|=y₂
所以

AB

CD

=

y1

y2

．
聯立直線3x-4y+2p=0與拋物線x²=2py的方程且消去x得：8y²-17py+2p²=0
解得：y₁=

p

8

，y₂=2p，
所以

AB

CD

=

y1

y2

=

1

16

．
故答案為：

1

16

．

點評：解決此類題目的關鍵是對拋物線的定義要熟悉，即拋物線上的點到定點的距離與到定直線的距離相等．