Question

【題目】若函數是上的單調減函數，已知，,且在定義域內恒成立，則實數的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】或

【解析】

先由函數單調遞減得到m的值，將函數g（x）初步簡化，然后針對函數h（x）中的參數n分類討論，目的是為了將不等式簡化，以便于能利用導數工具求解．

由函數f（x）=﹣4x3﹣mx2+（3﹣m）x+1是R上的單調減函數，

則可知f'（x）=﹣12x2﹣2mx+3﹣m≤0在R上恒成立，

△=4m2﹣4×（﹣12）×（3﹣m）=4（m﹣6）2≤0，故m=6，

則函數g（x）=lnx﹣2nx，由題可知在定義域（0，+∞）內恒成立，

①當n≥0時，函數恒成立，故原不等式可轉化為g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，

，

令g'（x）=0，解得，

則在上，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，

在上，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，

則，

則ln2n≥﹣1=lne﹣1，即

滿足前提n≥0，故

②當n＜0時，令，解得，

則當時，，g（x）h（x）≤0恒成立

可轉化為g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，

，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

故在上也單調遞增，

則，解得n≤﹣e2；

當時，，g（x）h（x）≤0恒成立

可轉化為g（x）=lnx﹣2nx≥0恒成立，

由上可知，g（x）在上單調遞增，

故，解得n≥﹣e2，即﹣e2≤n＜0；

要使得兩種情形下都能恒成立，則取其交集得到，n=﹣e2，

綜上所述，可得要使得g（x）h（x）≤0在定義域內恒成立，

則實數n的取值范圍為．

故答案為：或