Question

【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過坐標原點的直線交軌跡于，兩點，軌跡上異于，的點滿足直線的斜率為．

（ⅰ）證明：直線與的斜率之積為定值；

（ⅱ）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據已知條件列方程，化簡后求得軌跡的方程.

（Ⅱ）

（ⅰ）利用點差法，求得，由此證得結論成立.

（ⅱ）利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，由此求得三角形面積的表達式，利用二次函數的性質求得三角形面積的最大值.

（Ⅰ）由已知得，兩邊平方并化簡得，

即點的軌跡的方程為：．

（Ⅱ）（ⅰ）設點，則點，滿足， ①

設點，滿足， ②

由①－②得：，

∵，，

∴．

（ⅱ）∵，關于原點對稱，∴，

設直線，代入曲線化簡得：，

設，，由得：，，，

，

點到直線的距離，

∴，

∴，當時，

∴取到最大值．