Question

【題目】在三棱錐中， 和是邊長為的等邊三角形， ， 是中點， 是中點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得的余弦值為？若存在，指出點在上的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）在棱上靠近點的三等分點處．

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接， ， 中， 為中點，易得，同理可得： ，進而利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；

（Ⅱ）以為原點，以方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解線面角的正弦值；

（Ⅲ）設得再求得平面的一個法向量為和面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，求解的值，從而確定點的位置．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接， ， 中， 為中點，易得且．

同理可得： ， ，又∵，∴，

∴，又∵，∴平面，又∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）以為原點，以方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，

得， ， ， ， ,

設平面的一個法向量為，則有， ，

，設直線與面所成的角為，

則．

（Ⅲ）設在棱上存在點，設

設平面的一個法向量為

則有，且，取， ， ，

∴，

∵平面，

∴設面的一個法向量為．

設面與面所成二面角為，

，

解得： 或（舍），∴．　

所以存在點且當在棱上靠近點的三等分點處，滿足題意．