Question

【題目】已知函數,為自然對數的底數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數的圖象與直線交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明: 為函數的導函數）.

Answer 1

【答案】（1） 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用導數與函數的單調性的關系與分類整合思想求解；（2）依據題設構造函數運用導數知識推證.

試題解析：

（1）由題可知，. ①當時，

令，則，令，則.

②當時，.③當時，令，則，令，則,綜上，①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞增；③當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）

,,當時，

在上單調遞增，與軸不可能有兩個交點，故.

當時，令，則；令，則.

故在上單調遞增，在上單調遞減.不妨設，

且.要證，需證，

即證，

又，所以只需證.

即證：當時，.

設，

則在上單調遞減，

又，故.