Question

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
（1）若△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析.

試題分析：（1）由△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，因此可結(jié)合建立關(guān)于的方程為：，解出；（3）利用設(shè)而不求的思想，可先設(shè)三點(diǎn)后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡(jiǎn)后得到：.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為 
∵△是邊長(zhǎng)為的正三角形，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
代入拋物線的方程解得，
故所求拋物線的方程為
（2）∵, ∴ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是
∵ 點(diǎn)在拋物線上，
∴，
將代入上式整理得：，
即，解得
∵ ，故所求橢圓的離心率.
（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

而直線的方程為
令得.
在中，以代換得
∴  .