Question

如圖，設橢圓：的離心率，頂點的距離為,為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點.
（ⅰ）試判斷點到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．

試題分析：（1）利用離心率可得，關系．由兩個頂點距離可得，距離，由此結合可求得，的值，從而求得橢圓的標準方程；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況求解．當直線的斜率不存在時，情況特殊，易求解；當直線的斜率存在時，設直線的方程為與橢圓方程聯立消去得到關于的一元二次方程，然后結合韋達定理與，以及點到直線的距離公式求解；（3）在中，利用＝與，結合基本不等式求解．
試題解析：（1）由，得，
由頂點的距離為，得，
又由，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）解：（ⅰ）點到直線的距離為定值．
設,
① 當直線AB的斜率不存在時，則為等腰直角三角形，不妨設直線：，
將代入，解得，
所以點到直線的距離為；
② 當直線的斜率存在時，設直線的方程為與橢圓：，
聯立消去得，
，．
因為，所以，，
即，
所以，整理得，
所以點到直線的距離＝．
綜上可知點到直線的距離為定值．
（ⅱ）在中，因為＝
又因為≤，所以≥，
所以≥，當時取等號，即的最小值是．