Question

在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y²＝1有兩個不同的交點P和Q.
(1)求k的取值范圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)∪  (2)不存在，理由見解析

解：(1)由已知條件知直線l的方程為
y＝kx＋，
代入橢圓方程得＋(kx＋)²＝1.
整理得x²＋2kx＋1＝0.①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ＝8k²－4＝4k²－2>0，
解得k<－或k>，
即k的取值范圍為∪.
(2)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
則＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，
由方程①得x₁＋x₂＝－.②
又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝，③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，
所以＋與共線等價于x₁＋x₂＝－ (y₁＋y₂)．
將②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數k.