Question

已知函數f（x）=ex+

1

ex

（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≤0都有f（x）≥ax+1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數判斷函數的單調性，進而可求出函數的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，即g（x）≥g（0）=0成立，分類討論并利用導數判斷函數的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=-e^-x+e，…（1分）
令f'（x）＞0得x＞-1；令f'（x）＜0得x＜-1．
因此，函數f （x）在（-∞，-1]上單調減函數，在[-1，+∞）上是單調增函數，…（5分）
當x=-1時，f（x）的有極小值也是最小值，f（x）_min=0…（6分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，
則g'（x）=-e^-x+（e-a），g（0）=0．…（8分）
（1）當e-a≤0，即a≥e時，g'（x）=-e^-x+（e-a）＜0，g（x）在（-∞，0]是減函數，
因此當x≤0時，都有g（x）≥g（0）=0，即f（x）-ax-1≥0，f（x）≥ax+1；…（10分）
（2）當a＜e時，令g'（x）＜0得x＜-ln（e-a）；令g'（x）＞0得x＞-ln（e-a），
因此函數g（x）在（-∞，-ln（e-a）]上是減函數，在[-ln（e-a），+∞）上是增函數．
由于對所有x≤0都有f（x）≥ax+1，即g（x）≥g（0）=0成立，
因此-ln（e-a）≥0，e-a≤1，a≥e-1，又a＜e，
所以e-1≤a≤e．…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是[e-1，+∞）．…（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等知識，考查學生恒成立問題的等價轉化思想及分類討論思想的運用能力，屬于難題．