Question

已知y=f（x）是偶函數，定義x≥0時，f（x）=

x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3

（1）求f（-2）；
（2）當x＜-3時，求f（x）的解析式；
（3）設函數y=f（x）在區間[-5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）已知y=f（x）是偶函數，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；                                
（2）當x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
（3）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，在這兩段上分別研究二次函數的區間上的最值即可．

解答： 解：（1）已知y=f（x）是偶函數，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；                                
（2）當x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，當x＜-3時，f（x）的解析式為f（x）=-（x+3）（a+x）
（3）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，
①當a≤3時，f（x）在[0，

3

2

]上單調遞增，在[

3

2

，+∞)上單調遞減，所以g(a)=f(

3

2

)=

9

4

，
②當3＜a≤7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，

3+a

2

]上單調遞增，在[

3

2

，3]與[

3+a

2

，5]上單調遞減，
所以此時只需比較f(

3

2

)=

9

4

與f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

的大小．
（A）當3＜a≤6時，f(

3

2

)=

9

4

≥f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g(a)=f(

3

2

)=

9

4

（B）當6＜a≤7時，f(

3

2

)=

9

4

＜f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

③當a＞7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，5]上單調遞增，在[

3

2

，3]上單調遞減，且f(

3

2

)=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
綜上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

點評：本題主要考查函數的值域求法，綜合考查了分段函數求值域的問題，特別對于二次函數求值域時要分類討論的思想．