Question

雙曲線與橢圓

x2

4

+y²=1有相同的焦點F₁、F₂，P在雙曲線的右支上，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，則雙曲線的方程是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓方程可得雙曲線的c=

3

，設雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1．又PF₂⊥F₁F₂，則令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，再由∠PF₁F₂=30°，則PF₂=tan30°F₁F₂，即可得到a，b的方程，再由a²+b²=3，即可解得a，b，進而得到雙曲線方程．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y²=1的焦點F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
則雙曲線的c=

3

，設雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1．
又PF₂⊥F₁F₂，則令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，
再由∠PF₁F₂=30°，則PF₂=tan30°F₁F₂，
即有

b2

a

=

3

3

•2c=2，且a²+b²=3，
即可解得，a=1，b=

2

．
則雙曲線方程為：x²-

y2

2

=1．
故答案為：x²-

y2

2

=1．

點評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的簡單性質，特別是雙曲線方程的運用，屬于基礎題．