Question

設a∈R，函數f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函數y=f（x）的極值點，求函數f（x）在區間[-1，5]上的最值．
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）在R上為單調函數，若是，求實數a的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用x=2是函數y=f（x）的極值點，求出a，然后利用導數和最值之間的關系確定函數的最值．
（2）要使函數f（x）在R上為單調函數，則f'（x）符合不變化．

解答：解：（1）函數的導數f'（x）=3ax²-4x-4a，
因為x=2是函數y=f（x）的極值點，
所以f'（2）=12a-8-4a=0，
即8a-8=0，所以a=1．
所以f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
由f'（x）＞0得，-1＜x＜-

2

3

或2＜x＜5，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0得，-

2

3

＜x＜2，此時函數單調遞減．
所以當x=-

2

3

時，函數取得極大值，當x=2時，函數取得極小值．
又f(-1)=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f(2)=-8，f(5)=55，
所以最大值為55，最小值為-8．
（2）若a=0，則f（x）=-2x²，在R上不單調，所以a=0不成立．
若a≠0，則導數f'（x）=3ax²-4x-4a，對應的判別式△=16+48a²＞0恒成立．
所以不存在實數a，使得函數f（x）在R上為單調函數．

點評：本題主要考查函數的極值，最值與函數單調性的關系，要求熟練掌握對應的關系．