Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-3）x的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），若f′（x）是偶函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（　　）

A．y=f（x）的極大值為-2

B．y=f（x）的極大值為2

C．y=f（x）的極小值為-1

D．y=f（x）的極小值為1

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）建立等式關(guān)系，解之即可．

解答：解：對f（x）=x³+ax²+（a-3）x求導(dǎo)，得
f′（x）=3x²+2ax+a-3
又f′（x）是偶函數(shù)，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x²+2ax+a-3=3x²-2ax+a-3
化簡得a=0
∴f′（x）=3x²-3
令f′（x）=0，即3x²-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）
∴函數(shù)在x=1時取得極小值為：-2，極大值為2
故選B．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式．