Question

設a∈R，函數f（x）=ax³-3x²，x=2是函數y=f（x）的極值點．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）利用x=2是函數y=f（x）的極值點，可以求出a的值．
（2）利用導數和單調性的關系確定函數的單調區間．

解答：解：（1）函數的導數為f'（x）=3ax²-6x，因為x=2是函數y=f（x）的極值點，
所以f'（2）=3a×4-6×2=0，解得a=1，
經檢驗值a=1成立．
（1）當a=1時，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f'（x）=3x（x-2）＞0，得x＞2或x＜0，此時函數單調遞增．
由f'（x）=3x（x-2）＜0，得0＜x＜2，此時函數單調遞減．
故函數的單調遞增區間為（-∞，0）和（2，+∞），
函數的單調遞減區間為（0，2）．

點評：本題主要考查函數的極值和函數單調性的關于，以及利用導數研究函數的單調性問題，比較綜合．