Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F、O分別為CE、CD的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥面AFO；
（Ⅱ）求三棱錐C-ADE的體積．

Answer 1

分析：（I）根據已知中AB⊥平面ACD，DE∥AB，F、O分別為CE、CD的中點，AC=AD=CD=DE=2，我們易得到CD與面AFO中兩條相交直線AO、FO均垂直，根據線面垂直的判定定理，即可得到答案．
（II）根據（1）的結論，我們易判斷AO即為平面CDE上的高，由此計算出三角形CDE的面積，代入棱錐體積公式即可求解．

解答：解：（I）∵AB⊥平面ACDDE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∵F、O分別為CE、CD的中點．
∴FO∥ED
∴FO⊥CD
∵△ACD是等邊三角形
∴AO⊥CD
∴CD⊥面AFO（6分）
（II）∵AO⊥CD，△ACD是等邊三角形
∴AO⊥面CDE
∴AO是三棱錐A-CDE的高
∴VC-ADE=VA-CDE=

1

3

S△CDE•AO=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

（12分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，掌握線面垂直的判定定理，找出棱錐的高和底面積，是解答本題的關鍵．