Question

在如圖所示的組合體中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點．
（Ⅰ）若圓柱的軸截面是正方形，當點C是弧AB的中點時，求異面直線A₁C與AB₁的所成角的大小；
（Ⅱ）當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC的中點D，連接OD，AD，則OD∥A₁C，∠AOD（或其補角）為異面直線A₁C與AB₁的所成角，利用余弦定理，可求異面直線A₁C與AB₁的所成角的大小；
（II）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，當點C是弧弧AB的中點時，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，求出三棱錐A₁-ABC的體積為，從而求出四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，取BC的中點D，連接OD，AD，則OD∥A₁C，
∴∠AOD（或其補角）為異面直線A₁C與AB₁的所成角，
設正方形的邊長為2，則△AOD中，OD=

1

2

A₁C=

6

2

，AO=

2

，AD=

10

2

，
∴cos∠AOD=

2+ 3 2 - 5 2

2× 2 × 6 2

=

3

6

∴∠AOD=arccos

3

6

；
（Ⅱ）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，
當點C是弧AB的中點時，AC=BC=

2

r，
VA1-BCC1B1=

1

3

•(

2

r)•(

2

r)•h=

2

3

r2h，V圓柱=πr2h，
∴VA1-BCC1B1：V圓柱=2：3π．

點評：本小題主要考查直線與直線的位置關系，以及幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．