Question

已知函數f（x）=x-ln（x+m）
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）當m為何值時，不等式f（x）≥0恒成立？
（3）證明：當m∈N且m＞1時，方程f（x）=0在[1-m，e^m-m]內有唯一實根．（e為自然對數的底數；參考公式：2m=C

0 m

+C

1 m

+C

2 m

+…+C

m m

）

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，解不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值，
（2）由（1）得：f（x）在定義域（-m，+∞）內只有一個極值點，從而f（x）的最小值是1-m，從而1-m≥0時，不等式f（x）≥0恒成立，故求出實數m的范圍；
（3）由f（1-m）=1-m＜0，得f（e^m-m）＞0，由（1）得，f（x）在[1-m，e^m-m]上遞增，故方程f（x）=0在區間[1-m，e^m-m]內有唯一的實根．

解答： 解：（1）f′（x）=

x+m-1

x+m

，（x＞-m），
令f′（x）=0，解得：x=1-m，
∵-m＜x＜1-m時，f′（x）＜0，
x＞1-m時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-m，1-m）遞減，在（1-m，+∞）遞增，
∴x=1-m時，函數f（x）有極小值1-m；
（2）由（1）得：f（x）在定義域（-m，+∞）內只有一個極值點，
∴f（x）的最小值是1-m，從而1-m≥0時，不等式f（x）≥0恒成立，
故所求的實數m的范圍是（-∞，1]；
（3）∵m＞1，∴f（1-m）=1-m＜0，
又f（e^m-m）=e^m-m-ln（e^m-m+m）=e^m-2m，
∵e＞2，∴e^m-2m＞2^m-2m≥

c

0 m

+

c

1 m

+

c

2 m

-2m=

1

2

（m-1）（m-2）≥0，
∴f（e^m-m）＞0，
由（1）得，f（x）在[1-m，e^m-m]上遞增，
故方程f（x）=0在區間[1-m，e^m-m]內有唯一的實根．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，是一道綜合題．