Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底而為正方形，底面，，點為棱的中點，點，分別為棱，上的動點（，與所在棱的端點不重合），且滿足.

（1）證明：平面平面；

（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連結交于連結，則,面，,而，面，易證，則面，可得平面平面.解法二：通過建立空間直角坐標系，找出平面平面的法向量，通過法向量互相垂直來證明.

（2）通過建立空間直角坐標系，找到兩個平面法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的余弦值.

（1）【解法一】：（綜合法）

證明：連接交于，連接.

因為底面為正方形，所以，，

又因為，所以.

由底面知，底面，

又底面，所以；

又；平面，所以平面.

在中，因為，，所以，即，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

【解法二】

（向量法）

因為底面，，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則

，，，.設，則.

，，，.

設為平面的一個法向量，則

即可取.

設為平面的一個法向量，則

即可取.

因為，所以.

所以平面平面.

（2）解：設，

由題意知，，又，

所以.

易知當三棱錐的體積最大時，，即此時，分別為棱，的中點.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

，，.

設是平面的法向量，則

即可取.

設是平面的法向量，則

即可取.

則.

由圖知所求二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.