Question

【題目】已知函數.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解法一：零點分區間，分類討論，解絕對值不等式；解法二：畫出圖像，數形結合找到的解集.

（2）解法一：數形結合，圖像恒在圖像上方；解法二：不等式的解集為空集可轉化為對任意恒成立，分類討論，去掉絕對值，利用一次函數保號性解決恒成立問題.

（1）【解法一】

由題意，

當時，，解得，即，

當時，，解得，即，

當時，，解得，即.

綜上所述，原不等式的解集為.

【解法二】

由題意

作出的圖象

注意到當或時，，

結合圖象，不等式的解集為；

（2）【解法1】

由（1）可知，的圖象為

不等式的解集為空集可轉化為對任意恒成立，即函數的圖象始終在函數的圖象的下方，如圖

當直線過點以及與直線平行時為臨界點，所以.

【解法2】

不等式的解集為空集可轉化為對任意恒成立，

（i）當時，，即恒成立，

若，顯然不合題意，

若，即，則恒成立，符合題意，

若，即，只需即可，解得，故，

所以；

（ii）當時，，即恒成立，

若，即，恒成立，符合題意，

若，即，則恒成立，符合題意，

若，即，只需即可，解得，故，

所以；

（iii）當時，，即恒成立，

若，即，只需即可，解得，故，

若，即，則，不合題意，

若，即，則恒成立，不合題意，所以；

綜上所述，.