Question

如圖，已知橢圓G：的右準線l₁：x=4與x軸交與點M，點A，F₂分別是的右頂點和右焦點，且MA=2AF₂．過點A作斜率為-1的直線l₂交橢圓于另一點B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點C恰好在直線l₁上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為，從而a=2c，又橢圓的右準線l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1，從而可求橢圓G的方程；
（2）直線l₂的方程為y=-x+2，解方程組，可得，所以AB中點，從而可得AB的垂直平分線方程為，由此可求，所以，，故可求△ABC的面積．
解答：解：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為，即a=2c．
又橢圓的右準線l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1．
所以求橢圓G的方程為．
（2）∵過點A作斜率為-1的直線l₂，
∴直線l₂的方程為y=-x+2，
解方程組，得或，即
∵A（2，0），∴，
所以AB中點．
AB的垂直平分線方程為，即，
令x=4，得，即．
所以，，
所以△ABC的面積．
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積，綜合性強．