Question

（2003•北京）如圖，已知橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）設直線y=k₁x與橢圓交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直線y=k₂x與橢圓次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求證：

k1x1x2

x1+x2

=

k1x3x4

x3+x4

；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），即可得橢圓方程，從而可得焦點坐標與離心率；
（Ⅱ）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，利用韋達定理，可得

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

；將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

，由此可得結論；
（Ⅲ）設點P（p，0），點Q（q，0），由C、P、H共線，得p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

；由D、Q、G共線，可得  
q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

，由此可得結論．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），
∴橢圓方程為

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1
焦點坐標為F1(-

a2-b2

，r)，F2(

a2-b2

，r)
離心率e=

a2-b2

a

（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根據韋達定理，得x1+x2=

2k1a2r

b2+a2k12

，x1x2=

a2r2-a2b2

b2+a2k12

，
所以  

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

②
由 ①、②得   

k1x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2r

=

k2x3x4

x3+x4

所以結論成立
（Ⅲ）證明：設點P（p，0），點Q（q，0）
由C、P、H共線，得   

x1-p

x4-p

=

k1x1

k2x4

解得   p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D、Q、G共線，同理可得   

x2-p

x3-p

=

k1x2

k2x3

∴q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

變形得-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查不等式的證明，認真審題，細心計算是關鍵．