Question

如圖，已知圓G：（x-2）²+y²=r²是橢圓

x2

16

+y2=1的內接△ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點，
（1）求圓G的半徑r；
（2）過點M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F兩點，證明：直線EF與圓G相切．

Answer 1

分析：（1）可取BC⊥X軸時來研究，則可設B（2+r，y₀），過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H由

GD

AD

=

HB

AH

即y0=

r 6+r

6-r

，再由點B（2+r，y₀）在橢圓上，建立關于r的方程求解．
（2）設過點M（0，1）與圓相切的直線方程為：y-1=kx，由圓心到直線的距離等于半徑求k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

，與橢圓方程聯立，表示出E，F和坐標，從而得到EF所在的直線的方程，再探討圓心到直線的距離和半徑的關系．

解答：解：（1）設B（2+r，y₀），過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H
由

GD

AD

=

HB

AH

得

r

36-r2

=

y0

6+r

，
即y0=

r 6+r

6-r

（1）
而點B（2+r，y₀）在橢圓上，y02=1-

(2+r)2

16

=

12-4r-r2

16

=-

(r-2)(r+6)

16

（2）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，
解得r=

2

3

或r=-

6

5

（舍去）
（2）設過點M（0，1）與圓(x-2)2+y2=

4

9

相切的直線方程為：y-1=kx（3）
則

2

3

=

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0（4）
解得k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

將（3）代入

x2

16

+y2=1得（16k²+1）x²+32kx=0，
則異于零的解為x=-

32k

16k2+1

設F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），
則x1=-

32k1

16k12+1

，x2=-

32k2

16k22+1

則直線FE的斜率為：kEF=

k2x2-k1x1

x2-x1

=

k1+k2

1-16k1k2

=

3

4

于是直線FE的方程為：y+

32k12

16k12+1

-1=

3

4

(x+

32k1

16k12+1

)
即y=

3

4

x-

7

3

則圓心（2，0）到直線FE的距離d=

| 3 2 - 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

故結論成立．

點評：本題主要是通過圓和橢圓來考查直線和圓，直線和橢圓的位置關系．