Question

如圖，已知橢圓G：的右準(zhǔn)線l₁：x=4與x軸交與點(diǎn)M，點(diǎn)A，F(xiàn)₂分別是的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且MA=2AF₂．過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l₂交橢圓于另一點(diǎn)B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點(diǎn)C恰好在直線l₁上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為，即a=2c．
又橢圓的右準(zhǔn)線l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1．
所以求橢圓G的方程為．
（2）∵過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l₂，
∴直線l₂的方程為y=-x+2，
解方程組，得或，即
∵A（2，0），∴，
所以AB中點(diǎn)．
AB的垂直平分線方程為，即，
令x=4，得，即．
所以，，
所以△ABC的面積．
分析：（1）由MA=2AF₂，得橢圓的離心率為，從而a=2c，又橢圓的右準(zhǔn)線l₁：x=4，所以，所以a=2，c=1，從而可求橢圓G的方程；
（2）直線l₂的方程為y=-x+2，解方程組，可得，所以AB中點(diǎn)，從而可得AB的垂直平分線方程為，由此可求，所以，，故可求△ABC的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積，綜合性強(qiáng)．