Question

【題目】已知數列滿足a1＝2，an＋1＝3an＋2，

（1）證明:是等比數列，并求的通項公式；

（2）證明: .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析。

【解析】

（1）要證明數列是等比數列，應在an＋1＝3an＋2中找到數列中兩項之間的關系，用等比數列定義可證數列是等比數列。用等比數列的通項公式可得數列的通項公式，進而可得的通項公式。（2）由(1)可知,可知數列既不是等差數列也不是等比數列，所以用放縮法可得≤ ，進而可得＋＋…＋≤(1＋＋…＋)，根據等比數列前n項和公式求和，即可證得結論。

(1)證明：由an＋1＝3an＋2，

得an＋1＋1＝3.

又a1＋1＝3，

所以是首項為3，公比為3的等比數列.

∴an＋1＝，

因此{an}的通項公式為an＝

(2)解： 由(1)知,

因為當n≥1時，3n－1≥2×3n－1，

所以≤

于是＋＋…＋≤(1＋＋…＋)＝<.

所以＋＋…＋<.