Question

【題目】如圖甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中點．

現沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點．

（1）求證：平面PAE⊥平面PDE；

（2）在PE上找一點Q，使得平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）在PA上找一點G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）當PQ=2QE時，平面BDQ⊥平面ABCD； （3）滿足AG＝ AP時，有FG∥平面PDE．.

【解析】

（1）現根據線面平行的判定得到PA⊥平面ABCD，根據底面圖形特點得到AE⊥ED，又因為PA⊥ED進而得到ED⊥平面PAE，可推得面面垂直；（2）假設平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H點，根據線面平行的性質得到PA平行于面BDQ，QH平行于PA再由相似導出比例關系；（3）過點F作FH∥ED交AD于H，再過H作GH∥PD交PA于G，連接FG，證明平面FHG∥平面PED，即可證明FG∥平面PDE．

（1）證明：因為PA⊥AD， PA⊥AB， ABAD＝A，

所以PA⊥平面ABCD．因為BC＝PB＝2CD， A是PB的中點，所以ABCD是矩形，

又E為BC邊的中點，所以AE⊥ED．

又由PA⊥平面ABCD， 得PA⊥ED， 且PAAE＝A， 所以ED⊥平面PAE，

而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE．

（2）假設平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H點，又因為由第一問得到PA⊥平面ABCD，可得到直線PA平行于面BDQ，由線面平行的性質得到QH平行于PA，因為AD平行于BE,BE：AD=EH：HA=1：2，根據三角形EHQ相似于三角形PAE，故得到EQ：EP=HQ:AP=2:3.故當PQ=2QE時，平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）過點F作FH∥ED交AD于H，再過H作GH∥PD交PA于G， 連結FG．

由FH∥ED， ED平面PED， 得FH∥平面PED；

由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，

又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED．所以FG∥平面PDE．

再分別取AD、PA的中點M、N，連結BM、MN，

易知H是AM的中點，G是AN的中點，

從而當點G滿足AG＝AP時，有FG∥平面PDE．