【題目】 設函數
，
（1）當
時，求函數
的單調區間；
（2）當
時，曲線
與
有兩條公切線，求實數
的取值范圍；
（3）若
對
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
（2）
（3）
【解析】
（1）當
時，
=
，再利用導數求函數的單調區間；（2）設當兩曲線
與
相切，則
，解之即得
，所以;(3)原命題等價于
，再構造函數
，等價于
恒成立,再求
得解.
解:（1）當時，=，
∴
=
=
，
當
時，
，當
時，
所以的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
（2） 當兩曲線與相切時，這時是
的臨界值，
設兩曲線的切點坐標為
，
則，解得
，由圖象可知
（3）
令，等價于恒成立；
易得
，注意到只是分子
有效，
令
，顯然
在
上為增函數，則
．
故
從數字2斷開討論：
①當
時，得
，所以
，得
在
上單增，
所以
，恒成立，故滿足題意．
②當
時，令
，得
，
（舍）
得
時，
，則在
上遞減，
時，
，則在
上遞增，
又注意到
，所以極小值
，不可能恒成立，不符合題意
綜合上述， 實數的取值范圍是
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某印刷廠為了研究單冊書籍的成本
（單位：元）與印刷冊數
（單位：千冊）之間的關系，在印制某種書籍時進行了統計，相關數據見下表：
根據以上數據，技術人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲： 
，方程乙： 
.
（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務.
①完成下表（計算結果精確到0.1）；
②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和
及
，并通過比較
的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.
（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進行二次印刷，根據市場調查，新需求量為10千冊，若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商，求印刷廠二次印刷10千冊獲得的利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設動點
到定點
的距離比它到
軸的距離大
，記點
的軌跡為曲線
.
（1）求點的軌跡方程；
（2）若圓心在曲線上的動圓
過點
，試證明圓與軸必相交，且截軸所得的弦長為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】質檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產的
個零件質量進行檢測．甲、乙兩個車間的零件質量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質量不超過
克的為合格．
（1）質檢部門從甲車間
個零件中隨機抽取
件進行檢測，若至少
件合格，檢測即可通過，若至少
件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；
（2）若從甲、乙兩車間個零件中隨機抽取個零件，用
表示乙車間的零件個數，求的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了弘揚民族文化，某中學舉行了“我愛國學，傳誦經典”考試，并從中隨機抽取了60名學生的成績（滿分100分）作為樣本，其中成績不低于80分的學生被評為優秀生，得到成績分布的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若該所中學共有2000名學生，試利用樣本估計全校這次考試中優秀生人數；
（2）（i）試估計這次參加考試的學生的平均成績（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
（ii）若在樣本中，利用分層抽樣的方法從成績不低于70分的學生中隨機抽取6人，再從中抽取3人贈送一套國學經典學籍，試求恰好抽中2名優秀生的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，橢圓
的方程為
(
為參數)；以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓
的極坐標方程為
．
（1）求橢圓的極坐標方程，及圓的直角坐標方程；
（2）若動點
在橢圓上，動點
在圓上，求
的最大值；
（3）若射線
分別與橢圓交于點
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程為
，直線
：
，直線
：
.以極點
為原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系.
（1）求直線，的直角坐標方程以及曲線的參數方程；
（2）已知直線與曲線交于，
兩點，直線與曲線交于，
兩點，求
的面積.
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