Question

（2013•遼寧一模）已知函數f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）判斷函數f（x）-g（x）在定義域上的單調性；
（2）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M，N，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出y=f（x）-g（x）的解析式，進而求出定義域，再求出導函數并整理，對a進行分類：a＞0時和a＜0時，分別求出y′＞0和y′＜0對應的x的范圍，即求出函數的單調區間；
（2）先由f（x）=g（x）分離a，即求出a的表達式，再構造函數k（x）=

lnx+x

x2

，再求導判斷單調性以及最值和特殊函數值的符號，可得到函數圖象的大致形狀，再求出滿足條件的a的范圍．

解答：解：（1）由題意設y=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（a≠0，x＞0），
∴y′=2ax-1-

1

x

=

2ax2-x-1

x

，
①當a＞0時，令y′＞0得，2ax²-x-1＞0，解得x＞

1+ 1+8a

4a

，
令y′＜0得，2ax²-x-1＜0，解得0＜x＜

1+ 1+8a

4a

，
②當a＜0時，令h（x）=2ax²-x-1，則對稱軸x=

1

4a

＜0，且h（0）=-1，
∴x＞0時，有y′＜0，
綜上所述：a＞0時，在（0，

1+ 1+8a

4a

）上遞減，在（

1+ 1+8a

4a

，+∞）上遞增，
a＜0時，在（0，+∞）上遞減．
（2）由f（x）=g（x）得，ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=

lnx+x

x2

令k（x）=

lnx+x

x2

，則k′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

，
當0＜x＜1時，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上單調遞增，且k（e^-1）=

-1+e-1

e-2

＜0，
當x＞1時，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上單調遞減，且

lnx+x

x2

＞0，
∴k（x）在x=1處取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=

lnx+x

x2

的圖象有兩個交點，只需0＜a＜1．

點評：本題考查了導數與函數的單調性關系，以及兩個函數圖象的交點問題轉化為求單調性和最值等綜合應用，考查了分類討論思想、轉化思想和分離常數方法．