Question

（本小題滿分14分）
已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交于點，當直線繞點轉動時，試判斷以
為直徑的圓與直線的位置關系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．
由題意知解得，．
故橢圓的方程為，離心率為．……6分
（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．    
證明如下：由題意可設直線的方程為.
則點坐標為，中點的坐標為．
由得．
設點的坐標為，則．
所以，．……………………………10分
因為點坐標為，
當時，點的坐標為，點的坐標為.
直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．
當時，則直線的斜率.
所以直線的方程為．
點到直線的距離．
又因為，所以．
故以為直徑的圓與直線相切．
綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分

略