Question

【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù)．

求實數(shù)的值；

若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增即可；

討論時不滿足題意，則，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)可知在時，已經(jīng)存在兩個零點，在等價為當(dāng)時，有且只有一個零點，利用參變分離法結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可。

解：當(dāng)時，是增函數(shù)，且，

故當(dāng)時，為增函數(shù)，即恒成立，

當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒成立，

當(dāng)時，，此時相應(yīng)恒成立，即恒成立，即恒成立，

當(dāng)時，，此時相應(yīng)恒成立，即恒成立，即恒成立，

則，即．

若，則在上是增函數(shù)，此時最多有一個零點，不可能有三個零點，則不滿足條件．

故，

當(dāng)時，有一個零點，

當(dāng)時，，故0也是故的一個零點，

故當(dāng)時，有且只有一個零點，即有且只有一個解，

即，得，，

則，在時有且只有一個根，

即與函數(shù)，在時有且只有一個交點，

，

由得，即得，得，此時函數(shù)遞增，

由得，即得，得，此時函數(shù)遞減，

即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，此時極小值為

，

，

作出的圖象如圖，

要使與函數(shù)，在時有且只有一個交點，

則或，

即實數(shù)的取值范圍是．