已知函數
的圖像在點
處的切線斜率為10.
(1)求實數
的值;
(2)判斷方程
根的個數,并證明你的結論;
(21)探究: 是否存在這樣的點
,使得曲線
在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側? 若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由.
（1）8；（2）一個，證明參考解析；(21)
解析試題分析：（1）曲線上切線的斜率是通過導數的幾何意義，求曲線的導數再將該點的橫坐標代入即可求得該點的斜率，從而可解得的值.
（2）判斷方程的根的情況，一般是通過構造新的函數從而證明函數的與x軸的交點的個數得到對應方程的根的個數.
(21)因為是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側.是通過說明過該點的切線方程與曲線方程聯立后，構建一個新的函數，要說明該點不是新函數的極值點即可.
試題解析：（1）因為
.圖像在點處的切線斜率為10，
.解得
.
（2）方程 只有一個實根.證明如下：由（1）可知
，令
，因為
，
，所以在
內至少有一個實根.又因為
.所以
在遞增，所以函數在上有且只有一個零點，及方程有且只有一個實根.
(21)由，
，可求得曲線在點處的切線方程為
.即
.記
，
.若存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于
不是極值點，由二次函數的性質可知，當且僅當
時，不是極值點，即
.所以
在上遞增.又
，所以當
時，
，當
時，
，即存在唯一點.使得曲線在點A附近的左右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側.
考點：1.函數求導.2.函數與方程的根的關系.3.構建新函數的思想.4.正確理解題意建立函數解題的思想.5.分類猜想等數學思想.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求證：當a>0時，對于任意x1，x2∈
，總有g(x1)<f(x2)成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導函數．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)設函數g(x)＝
，求g(x)在x∈[2,4]時的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（
為常數），直線
與函數
、
的圖象都相切，且與函數圖象的切點的橫坐標為
．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若
[注：
是的導函數]，求函數
的單調遞增區間；
（3）當
時，試討論方程
的解的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知x＝3是函數f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點．
(1)求a；
(2)求函數f(x)的單調區間；
(3)若直線y＝b與函數y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k為常數)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的單調區間；
(2)已知函數g(x)＝－x2＋2ax(a為正實數)，若對于任意x2∈[0,1]，總存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求實數a的取值范圍．
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.
求
的極值.
在
上為增函數。
，其中
是自然對數的底數，
.
的單調區間；
時，求函數