Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ex+2ax﹣e

∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，

∴k=2a=0，∴a=0

∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e

令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x0，f（x0）），曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）

令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）

∵曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P，∴g（x）有唯一零點(diǎn)

∵g（x0）=0，g′（x）=

（i）若a≥0，當(dāng)x＞x0時(shí)，g′（x）＞0，∴x＞x0時(shí)，g（x）＞g（x0）=0

當(dāng)x＜x0時(shí)，g′（x）＜0，∴x＜x0時(shí)，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零點(diǎn)x=x0，由P的任意性a≥0不合題意；

（ii）若a＜0，令h（x）= ，則h（x0）=0，h′（x）=ex+2a

令h′（x）=0，則x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；

①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增

∴g（x）只有唯一零點(diǎn)x=x0；

②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）單調(diào)遞增，且h（x0）=0，則當(dāng)x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0

任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，

∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=

∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得

∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即g（x）在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)；

③若x0＜ln（﹣2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，a＜0，曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））

【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；令f′（x）＞0，可得單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x0，f（x0）），曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于g（x）有唯一零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零點(diǎn)x=x0，由P的任意性a≥0不合題意（2）若a＜0，令h（x）= ，則h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可研究g（x）的零點(diǎn)，由此可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．