Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ．
（Ⅰ）當(dāng)θ= 時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若數(shù)列{bn}滿足bn=sin ，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)任意n∈N* ， Sn＜3+ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：當(dāng) 時(shí)， ， ，

∴{2n﹣1an}是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，2n﹣1an=n，

從而 ．

（Ⅱ）證明： ，

∴當(dāng)n=1，2，3時(shí)， ；

當(dāng)n≥4時(shí)，∵ ， ，

令 ，

兩式相減得 ，

．

綜上所述，對(duì)任意

【解析】（1）當(dāng) 時(shí)， ， ，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）由（1）可得：an= ，可得 ，可得當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立；當(dāng)n≥4時(shí)，由于 ，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)函數(shù)公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．