Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為2。

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在一點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求點P的坐標與直線l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2），直線，或，直線．

【解析】

(1) 設，可得直線l的方程為，運用點到直線距離公式，可求出c,再由離心率公式即可求出a,b從而可得橢圓方程;

(2) 設，，, 設代入橢圓方程消元，再由韋達定理和向量的坐標運算，求出點P的坐標，代入橢圓方程，即可求出結果.

（1）設，可得直線l的方程為，

即為，由坐標原點O到l的距離為2，

即有，解得，

由，可得，b=2，

即有橢圓的方程為；

（2）設，，，

①當直線的斜率存在，設其方程為：

由，消去y得．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

將P點坐標代入橢圓得，

∴，∴（舍去），即為．

當時，，直線，

當時，，直線．

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為：，

依題意，四邊形OAPB為菱形，此時點P不在橢圓上，

即當直線的斜率不存在時，不適合題意；

綜上所述，存在P，且，直線，

或，直線．