Question

【題目】設對任意恒成立，其中、是整數，則的取值的集合為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用換元法設f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，根據一元一次函數和一元二次函數的圖象和性質進行判斷求解即可．

∵（ax+3）（x2﹣b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，

∴當x＝0時，不等式等價為﹣3b≤0，即b≥0，

當x→+∞時，x2﹣b＞0，此時ax+3≤0，則 a<0

設f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，

若b＝0，則g（x）＝x2＞0，

函數f（x）＝ax+3的零點為x，則函數f（x）在（0，）上f（x）＞0，此時不滿足條件．

故b＞0，a<0

∵函數f（x）在（0，）上f（x）＞0，則（，+∞））上f（x）＜0，

而g（x）在（0，+∞）上的零點為x，且g（x）在（0，，）上g（x）＜0，則（，+∞））上g（x）＞0，

∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，

則函數f（x）與g（x）的零點相同，即，

∵a，b，是整數，

∴﹣a是3的約數，即﹣a＝1，或﹣a＝3，

即a＝﹣1，或a＝﹣3，

當a＝﹣1時，3，即b＝9，

當a＝﹣3時，1，即b＝1，

即a+b＝﹣1+9＝8或a+b＝﹣3+1＝﹣2，

即a+b的取值的集合為{8，﹣2}，

故答案為：{8，﹣2}．