Question

【題目】如圖，在五棱錐中，平面,∥，∥，∥，, ，，是等腰三角形．

（1）求證：平面平面；

（2）求側棱上是否存在點，使得與平面所成角大小為，若存在，求出點位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）點為頂點時滿足題意

【解析】

試題分析：（1）由邊長可求得，結合可得到，從而可證明平面平面；（2）由設出動點Q坐標，結合求解值，從而確定點的位置

試題解析：（Ⅰ）證明：因為ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，

所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，

又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因為

，所以平面PCD⊥平面PAC

(2) 由（Ⅰ）知AB，AC，AP兩兩互相垂直，分別以AB，AC，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由△PAB為等腰直角三角形，所以，

而，則

因為AC∥ED，CD⊥AC，所以四邊形ACDE是直角梯形．

因為AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°，

故，所以．

因此，設是平面PCD的一個法向量，則，解得x=0，y=z．取y=1，得，

假設

．

由解出，存在，點為頂點時滿足題意