Question

【題目】三棱錐中， 互相垂直， ， 是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，∵互相垂直，∴就是直線(xiàn)與平面所成角，當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)直線(xiàn)與平面所成角的正切的最大．

此時(shí)， ，在直角△中， ．

三棱錐擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，

∴三棱錐的外接球的半徑為，

∴三棱錐的外接球的表面積為．

選B.

點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性�素間的關(guān)系求解．

(2)若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線(xiàn)段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解．