Question

【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D為AB邊中點，且CC1=2AB．

（1）求證：平面C1CD⊥平面ABC；
（2）求證：AC1∥平面CDB1；
（3）求三棱錐D﹣CAB1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CC1⊥平面ABC，

又CC1平面C1CD，

∴平面C1CD⊥平面ABC

（2）證明：連結BC1，交B1C于點O，連結DO．

則O是BC1的中點，

DO是△BAC1的中位線．

∴DO∥AC1．

∵DO平面CDB1，

AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

（3）解：∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，

∴BB1⊥平面ABC．

∴BB1 為三棱錐D﹣CBB1 的高．

= ．

∴三棱錐D﹣CAB1的體積為 ．

【解析】（1）由已知結合面面垂直的判斷得答案； （2）連結BC1 ， 交B1C于點O，連結DO．由三角形中位線的性質得到DO∥AC1 ， 再由線面平行的判定定理得答案；（3）由CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1 ， 得BB1⊥平面ABC，從而求得BB1 為三棱錐D﹣CBB1 的高，把三棱錐D﹣CAB1的體積轉化為三棱錐B1﹣BCD的體積得答案．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．