Question

【題目】已知函數y=x+ （a＞0）在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增；函數
（1）請寫出函數f（x）=x2+ （a＞0）與函數g（x）=xn+ （a＞0，n∈N，n≥3）在（0，+∞）的單調區間（只寫結論，不證明）；
（2）求函數h（x）的最值；
（3）討論方程h2（x）﹣3mh（x）+2m2=0（0＜m≤30）實根的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據條件， 的單調遞減區間是 ，

單調遞增區間是 ；

函數 的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是

（2）解： =

由（1）可知， 與 均在 單調遞減，在[1，2]上單調遞增，

則有函數h（x）在 單調遞減，在[1，2]上單調遞增，

所以 ，

（3）解：由h2（x）﹣3mh（x）+2m2=0可得（h（x）﹣m）（h（x）﹣2m）=0，

所以有h（x）=m或h（x）=2m，

又函數h（x）在 單調遞減，在[1，2]單調遞增，

而 ，

所以當0＜2m＜160＜m＜8時，方程無實數根；

當2m=16m=8時，有一個實數根；

當0＜m＜16，且60＞2m＞16即8＜m＜16，方程有兩個實數根；

當m=16，2m=32，方程有三個實數根；

當 時，方程有四個實數根．

綜上，①當0＜m＜8時，方程實根個數為0；

②當m=8時，方程實根個數為1；

③當8＜m＜16時，方程實根個數為2；

④當m=16，2m=32時，方程實根個數為3；

⑤當16＜m≤30時，方程實根個數為4

【解析】（1）由已知函數y=x+ 的單調區間，即可得到所求函數的單調區間；（2）化簡h（x）的函數式，再由已知結論，可得函數h（x）在 單調遞減，在[1，2]上單調遞增，即可得到所求函數的最值；（3）化簡方程可得，h（x）=m或h（x）=2m，又函數h（x）在 單調遞減，在[1，2]單調遞增，討論0＜m＜8，m=8，8＜m＜16，16＜m≤30，即可得到方程的根的個數．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．