Question

【題目】在直角坐標系中，已知傾斜角為的直線過點，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為，直線與曲線分別交于、兩點．

（1）寫出直線的參數方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）直線的參數方程為（為參數），曲線的直角坐標方程為；（2）.

【解析】

（1）由傾斜角為的直線過點，能求出直線的參數方程；曲線的極坐標方程化為，由此能求出曲線的直角坐標方程；

（2）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，可得出關于的一元二次方程，列出韋達定理，利用的幾何意義結合條件可得出關于的三角方程，求出的值，即可得出直線的斜率的值.

（1）傾斜角為的直線過點，直線的參數方程為（為參數），

在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，

因此，曲線的直角坐標方程為；

（2）曲線的直角坐標方程可化為，

將直線的參數方程（為參數）代入曲線的直角坐標方程得，

整理得，，得.

設、兩點在直線上對應的參數分別為、，由韋達定理得，，

，，即，所以，

解得滿足，此時，

所以，，因此，直線的斜率為.