Question

【題目】已知，數列的前n項和為，且；數列的前n項和為，且滿足，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的通項公式；

（3）設，問：數列中是否存在不同兩項，（，i，），使仍是數列中的項?若存在，請求出i，j；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，，

【解析】

（1）先根據，求出，再根據可得，然后兩式作差，得到，再求出首項，進而可得數列的通項公式；
（2）根據，通過遞推，可證數列為等差數列，即可求出通項公式；
（3）由，假設數列中存在不同兩項，（，，），然后根據條件找出滿足條件的，值即可.

（1）∵數列的前n項和為，且滿足

∴，

由，得.
∴，且，即.
∴數列是首項為，公比為2的等比數列

∴

（2）∵①

時，②

①②得

∴，

時，，∴

∴

∴為等差數列

∴

（3），假設中存在不同的兩項，（），使（）

注意到.

∴單調遞增

由，則.

∴

令（），∴

∴

∵

∴，而

∴，

令，則

∴為單調遞增，注意到時，，

∴m只能為1，2，3

①當時，

∴，故i只能為1，2，3

當時，，此時

當時，，此時無整數解，舍

當時，，此時，無正整數解，舍去

②當時，，此時

∴，此時，無解

③當時，，此時，無正整數解，舍去.

綜上：存在，滿足題意.