Question

【題目】

在四棱錐中，側面底面，，為中點，底面是直角梯形，，=90°,，．

（I）求證：平面；

（II）求證：平面；

（III）設為側棱上一點，，試確定的值，使得二面角為45°．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析．

（II）證明見解析．

（III）

【解析】

（I）取PD的中點F，連結EF，AF，

因為E為PC中點，所以EF//CD，且

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，

所以BE//AF，

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD．

（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD．

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz．

則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.

所以

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD．

（III）平面PBD的法向量為

所以，

設平面QBD的法向量為=（a，b，c），

，

由，，得

所以=

所以

注意到，得．