Question

已知f（x）=

1

4

x⁴-

4

3

x³+2x²+a在x=x₁處取得極值2，則

∫

1 0

a2-t2

dt=（　　）

• A、π+

  3

  2

• B、π
• C、

  1

  3

  π+

  3

  2

• D、

  π

  3

  +

  3

  2

  或

  1

  9

  π+

  3

  2

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，確定函數取得極值的x，建立條件關系求出a，利用積分的幾何意義即可求出結論．

解答：解：函數的導數為f′（x）=x³-4x²+4x=x（x²-4x+4）=x（x-2）²，
則當f′（x）＞0，得x＞0，
由f′（x）＜0得x＜0，即當x=0時函數取得極小值，也是唯一的極值，
∵f（x）在x=x₁處取得極值2，
∴x₁=0，即f（0）=2，
則f（0）=a=2，
則

∫

1 0

a2-t2

dt=

∫

1 0

4-t2

dt，
設y=

4-t2

，則t²+y²=4，（0＜t＜1），
則積分的幾何意義為陰影部分的面積，
則A（1，

3

），則∠xOA=

π

3

，∠yOA=

π

6

，
則陰影部分的面積S=

1

2

×1×

3

+

1

2

×

π

6

×22=

3

2

+

π

3

，
故選：C

點評：本題主要考查導數的應用，以及積分的幾何意義，根據導數求出函數的極值，確定a的值是解決本題的關鍵．