Question

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km、當(dāng)山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l²+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；
（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．
（III）在AB上是否存在兩個不同的點D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論、

Answer 1

【答案】分析：對于（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小．這是一個實際應(yīng)用題，需要先把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為清晰的幾何圖形，然后設(shè)BD=x（km）．根據(jù)幾何關(guān)系列出總造價為f₁（x）的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)配方法求出最小值即為所求．
對于（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．設(shè)AE=y（km），，總造價為f₂（y）萬元，求出總造價的f₂（y）的函數(shù)表達(dá)式，求出其導(dǎo)函數(shù)的方法，通過判斷在區(qū)間上正負(fù)問題，討論區(qū)間單調(diào)性．然后根據(jù)單調(diào)性求極值即可得到答案．
解答：解：（I）如圖，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，
則∠PBH=θ，．
設(shè)BD=x（km），0≤x≤1.5，
則∈[1，2]．
記總造價為f₁（x）萬元，
據(jù)題設(shè)有=
當(dāng)，即時，總造價f₁（x）最小．
（II）設(shè)AE=y（km），，總造價為f₂（y）萬元，
根據(jù)題設(shè)有=、
則，由f₂^′（y）=0，得y=1．
當(dāng)y∈（0，1）時，f₂^′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)時，f₂^′（y）＞0，f₂（y）在內(nèi)是增函數(shù)．
故當(dāng)y=1，即AE=1（km）時總造價f₂（y）最小，且最小總造價為萬元．
點評：此題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．