Question

如圖，某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路，點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=

2

5

，點(diǎn)P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為

a

2

萬(wàn)元/km、當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lkm（1≤l≤2）時(shí)，其造價(jià)為（l²+1）a萬(wàn)元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=

3

(km)．
（Ⅰ）在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線(xiàn)PDAO修建公路的總造價(jià)最小；
（Ⅱ）對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線(xiàn)PDEO修建公路的總造價(jià)最小．
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)D′，E′，使沿折線(xiàn)PD′E′O修建公路的總造價(jià)小于（Ⅱ）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論、

Answer 1

分析：對(duì)于（Ⅰ）在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線(xiàn)PDAO修建公路的總造價(jià)最小．這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，需要先把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為清晰的幾何圖形，然后設(shè)BD=x（km）．根據(jù)幾何關(guān)系列出總造價(jià)為f₁（x）的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)配方法求出最小值即為所求．
對(duì)于（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線(xiàn)PDEO修建公路的總造價(jià)最小．設(shè)AE=y（km），0≤y≤

5

4

，總造價(jià)為f₂（y）萬(wàn)元，求出總造價(jià)的f₂（y）的函數(shù)表達(dá)式，求出其導(dǎo)函數(shù)的方法，通過(guò)判斷在區(qū)間上正負(fù)問(wèn)題，討論區(qū)間單調(diào)性．然后根據(jù)單調(diào)性求極值即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）如圖，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂線(xiàn)定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，
則∠PBH=θ，PB=

PH

sinθ

=1．
設(shè)BD=x（km），0≤x≤1.5，
則PD=

x2+PB2

=

x2+1

∈[1，2]．
記總造價(jià)為f₁（x）萬(wàn)元，
據(jù)題設(shè)有f1(x)=(PD2+1+

1

2

AD+AO)a=(x2-

1

2

x+

11

4

+

3

)a=(x-

1

4

)2a+(

43

16

+

3

)a
當(dāng)x=

1

4

，即BD=

1

4

(km)時(shí)，總造價(jià)f₁（x）最小．
（Ⅱ）設(shè)AE=y（km），0≤y≤

5

4

，總造價(jià)為f₂（y）萬(wàn)元，
根據(jù)題設(shè)有f2(y)=[PD2+1+

y2+3

+

1

2

(

3

2

-

1

4

-y)]a=(

y2+3

-

y

2

)a+

43

16

a、
則f2′(y)=(

y

y2+3

-

1

2

)a，由f₂′（y）=0，得y=1．
當(dāng)y∈（0，1）時(shí)，f₂′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)y∈(1，

5

4

)時(shí)，f₂′（y）＞0，f₂（y）在(1，

5

4

)內(nèi)是增函數(shù)．
故當(dāng)y=1，即AE=1（km）時(shí)總造價(jià)f₂（y）最小，且最小總造價(jià)為

67

16

a萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．