Question

如圖，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km、當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l²+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；
（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．
（III）在AB上是否存在兩個不同的點D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論、

Answer 1

解：（I）如圖，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，
則∠PBH=θ，．
設BD=x（km），0≤x≤1.5，
則∈[1，2]．
記總造價為f₁（x）萬元，
據題設有=
當，即時，總造價f₁（x）最小．
（II）設AE=y（km），，總造價為f₂（y）萬元，
根據題設有=、
則，由f₂^′（y）=0，得y=1．
當y∈（0，1）時，f₂^′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）內是減函數；
當時，f₂^′（y）＞0，f₂（y）在內是增函數．
故當y=1，即AE=1（km）時總造價f₂（y）最小，且最小總造價為萬元．
分析：對于（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小．這是一個實際應用題，需要先把復雜的圖形轉化為清晰的幾何圖形，然后設BD=x（km）．根據幾何關系列出總造價為f₁（x）的函數表達式，再根據配方法求出最小值即為所求．
對于（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．設AE=y（km），，總造價為f₂（y）萬元，求出總造價的f₂（y）的函數表達式，求出其導函數的方法，通過判斷在區間上正負問題，討論區間單調性．然后根據單調性求極值即可得到答案．
點評：此題主要考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．