Question

如圖，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）．沿山腳原有一段筆直的公路可供利用．從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元．已知，，，．

（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最小；

（II） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最小．

（III）在上是否存在兩個不同的點，，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論．

Answer 1

解：（I）如圖，，，，

由三垂線定理逆定理知，，所以是

山坡與所成二面角的平面角，則，

．

設，．則

．

記總造價為萬元，

據題設有

當，即時，總造價最小．

（II）設，，總造價為萬元，根據題設有

．

則，由，得．

當時，，在內是減函數；

當時，，在內是增函數．

故當，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元．

（III）解法一：不存在這樣的點，．

事實上，在上任取不同的兩點，．為使總造價最小，顯然不能位于 與之間．故可設位于與之間，且=，，，總造價為萬元，則．類似于（I）、（II）討論知，，，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點 ，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價．

解法二：同解法一得

．

當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一．