Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，an+1= an+ （n∈N*）．
（1）求最小的正實數M，使得對任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤M．
（2）求證：對任意的n∈N* ， 恒有 ≤an≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：最小的正實數M=1，即使得對任意的n∈N*，恒有0＜an≤1．

下面利用數學歸納法證明：①當n=1時，a1=1成立；

②假設n=k（k∈N*）時，對任意的k∈N*，恒有0＜ak≤1．

則n=k+1時，易知k＜2k，

∴0＜ak+1= + ＜ ≤ ＜ + =1，

因此當n=k+1時假設成立，

綜上可得：最小的正實數M=1，使得對任意的n∈N*，恒有0＜an≤M

（2）證明：先證明右邊：由（1）可得：0＜an≤1．

∴an+1= an+ =an ≤an（ ）≤an（ ）≤an（ ）= an，（2n≤2n）．

∴an≤ ≤ = ，因此右邊成立．

證明左邊：下面利用數學歸納法證明：①當n=1時，a1=1= ，成立；

②假設n=k（k∈N*）時，對任意的k∈N*，恒有ak≥ ．

則n=k+1時，要證明：ak+1≥ ，

又ak+1= + ，

∴只要證明： + ≥ ，

化為：k（5×2k+4） +2kak﹣182k≥0，

解出：ak≥ ≥ = ．

因此當n=k+1時也成立，

綜上①②可得：左邊成立．

因此：對任意的n∈N*，恒有 ≤an≤

【解析】（1）最小的正實數M=1，即使得對任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤1．利用數學歸納法即可證明．（2）先證明右邊：由（1）可得：0＜an≤1．通過放縮：an+1= an+ =an ≤an（ ） an ， （2n≤2n）．可得：an≤ ．證明左邊：利用數學歸納法證明即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．