Question

【題目】已知：0＜α＜ ＜β＜π，cos（β﹣ ）= ，sin（α+β）= ．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：∵cos（β﹣ ）=cos cosβ+sin sinβ

= cosβ+ sinβ= ．

∴cosβ+sinβ= ．

∴1+sin2β= ，∴sin2β=﹣ ．

法二：sin2β=cos（ ﹣2β）

=2cos2（β﹣ ）﹣1=﹣ ．

（2）解：∵0＜α＜ ＜β＜π，∴ ＜β﹣ ＜ ， ＜α+β＜ ．

∴sin（β﹣ ）＞0，cos（α+β）＜0．

∵cos（β﹣ ）= ，sin（α+β）= ，

∴sin（β﹣ ）= ，cos（α+β）=﹣ ．

∴cos（α+ ）=cos[（α+β）﹣（β﹣ ）]

=cos（α+β）cos（β﹣ ）+sin（α+β）sin（β﹣ ）

=﹣ × + × =

【解析】（1）法一：直接利用兩角差的余弦函數展開，再用方程兩邊平方，求sin2β的值；法二：利用sin2β=cos（ ﹣2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；（2）通過題意求出sin（β﹣ ）= ，cos（α+β）=﹣ ，根據cos（α+ ）=cos[（α+β）﹣（β﹣ ）]，展開代入數據，即可求cos（α+ ）的值．